Question

5．两个反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞1）和y=$\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点P在y=$\frac{k}{x}$（的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点B，BE⊥x轴于点E，当点P在y=$\frac{k}{x}$（的图象上运动时，以下结论：①BA与DC始终平行；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不会发生变化；④△OBA的面积等于四边形
ACEB的面积．其中一定正确的是①③④（填写序号）．

Answer 1

分析 ①正确．只要证明$\frac{BD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$即可；
②错误．只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
③正确．由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
④正确．只要证明△OBA的面积=矩形OCPD的面积-S_△ODB-S_△BAP-S_△AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积-S_△ODB-S_△BAP-S_△OBE即可．

解答 解：①正确．∵A、B在y=$\frac{1}{x}$上，
∴S_△AOC=S_△BOE，
∴$\frac{1}{2}$•OC•AC=$\frac{1}{2}$•OE•BE，
∴OC•AC=OE•BE，
∵OC=PD，BE=PC，
∴PD•AC=DB•PC，
∴$\frac{BD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$，
∴AB∥CD．故此选项正确．
②错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
③正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；故此选项正确．
④正确．∵△ODB的面积=△OCA的面积=$\frac{k}{2}$，
∴△ODB与△OCA的面积相等，同理可得：S_△ODB=S_△OBE，
∵△OBA的面积=矩形OCPD的面积-S_△ODB-S_△BAP-S_△AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积-S_△ODB-S_△BAP-S_△OBE
∴△OBA的面积=四边形ACEB的面积，故此选项正确，
故一定正确的是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查反比例函数k是几何意义、矩形的性质、平行线的判定等知识，本题综合性比较强，属于中考填空题中的压轴题．