Question

已知：把和按如图（1）摆放（点与点重合），点、（）、在同一条直线上．，，，，．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以2 cm/s的速度沿向点匀速移动.当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为．

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

Answer 1

（1）2（2）（3）1

解析试题分析：1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.  ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t，∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .P = 10－2 t.
 ∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t =" 2" s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.    4分

（2）过P作，交BE于M，
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ .   ∴PM = .
∵BC =" 6" cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.
∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －
= = .
∵，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y_最小=.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm².      8分
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作，交AC于N，
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ .  ∴ . 
∵    ∴
解得：t= 1.
(通过△QCF∽△PMF得到t= 1也可)
考点：相似三角形的判定
点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.