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    已知：把和按如图（1）摆放（点与点重合），点、（）、在同一条直线上．，，，，．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以2 cm/s的速度沿向点匀速移动.当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为．

    （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？

    （2）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．

    （3）是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

     

    【答案】

    （1）2s；（2）3s，cm2；（3）1s

    【解析】

    试题分析：（1）根据垂直平分线的性质可得AP=AQ，根据三角形的内角和定理可求的∠EQC=45°，即可证得CE=CQ，由题意知：CE=t，BP=2t，则CQ=t，AQ=8－t，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，AP=10－2 t，即可求得结果；

    （2）过P作，交BE于M，在Rt△ABC和Rt△BPM中，由，可得PM=，由BC =" 6" cm，CE = t可得BE = 6－t，再根据三角形的面积公式及二次函数的性质求解即可；

    （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上，过P作，交AC于N，证得△PAN ∽△BAC，根据相似三角形的性质可得，，由NQ = AQ－AN可得NQ = 8－t－() = ．证得△QCF∽△QNP，再根据相似三角形的性质求解即可.

    （1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

    ∴AP = AQ.

    ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

    ∴∠EQC = 45°.

    ∴∠DEF =∠EQC. 

    ∴CE =" CQ."

    由题意知：CE = t，BP ="2" t，

    ∴CQ = t.

    ∴AQ = 8－t.

    在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm，AP = 10－2 t.

    ∴10－2 t = 8－t.

    解得：t = 2.

    答：当t =" 2" s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

    （2）过P作，交BE于M，

    ∴.

    在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

    ∴ .  

    ∴PM = .

    ∵BC =" 6" cm，CE = t， 

    ∴BE = 6－t.

    ∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==

    ∵，

    ∴抛物线开口向上.

    ∴当t = 3时，y最小=

    答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2；

    （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

    过P作，交AC于N

    ∴.

    ∵，

    ∴△PAN ∽△BAC.

    ∴.

    ∴.

    ∴，.

    ∵NQ = AQ－AN，

    ∴NQ = 8－t－() = ．

    ∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，

    ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

    ∵∠FQC = ∠PQN，

    ∴△QCF∽△QNP .

    ∴ . 

    ∴ . 

    ∵   

    ∴

    解得t=1.

    答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.

    考点：动点问题的综合题

    点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.

     

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    （1）当D在AC上时，求t的值；
    （2）在P点运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
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