Question

8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G．
（1）求证：BG=CF；
（2）DE⊥GF交AB于点E，连接EF，试判断BE+CF与EF的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．

解答 （1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
在△BGD与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}\\{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．

（2）解：BE+CF＞EF．
连接EG，
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．

点评 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．