Question

20．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求b的值和顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入解析式求出b的值，得到抛物线的解析式，求出顶点坐标；
（2）求出点B、C的坐标，判断△ABC的形状；
（3）根据轴对称求出点C关于x轴的对称点C′的坐标，求出直线C′D的解析式，计算这条直线与x轴的交点M的坐标即可．

解答 解：（1）把x=-1，y=0代入解析式得，
b=-$\frac{3}{2}$，
则解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
配方得，y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
顶点D的坐标为：（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（2）当x=0时，y=-2，点C的坐标（0，-2），
当y=0时，x₁=-1，x₂=4，
点A（-1，0），点B（4，0），
则AB=5，BC=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{5}$，
根据勾股定理的逆定理可知，
△ABC为直角三角形；
（3）点C关于x轴的对称点C′，连接C′D，则C′D与x轴的交点即为所求的点M，
∵点C的坐标（0，-2），
∴C′（0，2），
又∵点D的坐标为：（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴直线C′D的解析式为：y=-$\frac{41}{12}$x+2，
当y=0时，x=$\frac{24}{41}$，m=$\frac{24}{41}$，．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点、勾股定理的逆定理、待定系数法和最短路径问题，综合性较强，需要学生认真审题，灵活运用所学的知识．