Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC于D点．求证：
（1）△ADC∽△ABE； 
（2）BE=CF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）利用圆周角定理以及相似三角形的判定得出即可；
（2）利用相似三角形的性质得出∠CAD=∠BAE，进而求出BE=CF．

解答：证明：（1）∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵∠E=∠ACB，
∴△ADC∽△ABE；

（2）∵△ADC∽△ABE，
∴∠CAD=∠BAE，
∴

BE

=

FC

，
∴BE=FC．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，正确把握相似三角形的判定定理是解题关键．