Question

7．自然数62αβ427是99的倍数，求α，β．

Answer 1

分析 由题意可知七位自然数62αβ427能被9，11整除，根据整数能被9，11整除的性质求出α，β的值

解答 解：因为99|62αβ427，所以9|62αβ427且11|62αβ427．
由9|62αβ427及可被9整除的数的判别方法知道6+2+α+β+4+2+7是9的倍数．
∴α+β+3=9m（m是自然数）
∵0≤α≤9，0≤β≤9，
可以导出3≤α+β+3≤21，
从而α+β=6或α+β=15       ①
由11|62αβ427及可被11整除的数的判别方法知道11|（6+α+4+7）-（2+β+2）
∴13+α-β=11k（k是整数）
又-9≤α-β≤9，即4≤13+α-β≤22，
∴α-β=-2或α-β=9       ②
∵α+β与α-β奇偶性相同，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α+β=6}\\{α-β=-2}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{α+β=15}\\{α-β=9}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α=2}\\{β=4}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{α=12}\\{β=3}\end{array}\right.$（不符合题意，舍去）
∴α=2，β=4

点评 此题是约数和倍数，主要考查了（1）能被9整除的数的特点：各位数字之和能被9整除，则该数能被9整除；
也考查了（2）能被11整除的数的特点：奇数位的数字和与偶数位的数字和的差能被11整除，则该数能被11整除