【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=2CD·OE;
(3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长.
【答案】(1)DE为⊙O的切线;证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】
试题分析:(1)连接OD,BD,由AB为圆O的直径,得到∠ADB为直角,可得出三角形BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,利用等边对等角得到一对角相等,再由OA=OD,利用等边对等角得到一对角相等,由直角三角形ABC中两锐角互余,利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为圆O的切线;
(2)证明OE是△ABC的中位线,则AC=2OE,然后证明△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;
(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.
试题分析:(1)连接OD,BD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=ACCD.
∴BC2=2CDOE;
(3)∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=6,E是BC的中点,即BC=12,
∴AC=15.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=
.
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【题目】下列运算正确的是( )
A. 4m - m = 3 B. a3 - a2 = a C. 2xy - yx = xy D. a2b - ab2 = 0
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,6点朝上是必然事件
B. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩平均数相同,方差分别是S甲2=0.4,S乙2=0.6,则甲的射击成绩较稳定
C. “明天降雨的概率为”,表示明天有半天都在降雨
D. 了解一批电视机的使用寿命,适合用普查的方式
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【题目】小华同学某体育项目7次测试成绩如下(单位:分):9,7,10,8,10,9,10.这组数据的中位数和众数分别为( )
A.8,10
B.10,9
C.8,9
D.9,10
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【题目】已知二次函数y=x2+2x+与x轴有两个交点,且k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当二次函数y=x2+2x+图象经过原点时,直线y=3x+2与之交于A、B两点,若M是抛物线上在直线y=3x+2下方的一个动点,△MAB面积是否存在最大值?若存在,请求出M点坐标,并求出△MAB面积最大值;若不存在,请说明理由.
(3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个新图象.若直线y=kx+2(k>0)与该新图象恰好有三个公共点,求k的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),B(6,3),连结AB,如果点P在直线y=x﹣1上,且点P到直线AB的距离小于1,那么称点P是线段AB的“邻近点”.
(1)判断点C( ,
)是否是线段AB的“邻近点” .
(2)若点Q(m,n)是线段AB的“邻近点”,则m的取值范围 .
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