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【题目】如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F

1)求证:CF是⊙O的切线;

2)若∠F=30°EB=6,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π

【答案】1)证明见解析;(29

【解析】试题分析:(1)、连接OD,根据平行四边形的性质得出∠AOC=OBECOD=ODB,结合OB=OD得出∠DOC=AOC,从而证明出△COD和△COA全等,从而的得出答案;(2)首先根据题意得出△OBD为等边三角形,根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB,根据Rt△AOC的勾股定理得出AC的长度,然后根据阴影部分的面积等于两个△AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.

试题解析:1)如图连接OD

∵四边形OBEC是平行四边形,∴OCBE∴∠AOC=OBECOD=ODB

OB=OD∴∠OBD=ODB∴∠DOC=AOC

CODCOA中,∴△COD≌△COA∴∠CDO=CAO=90°

CFODCF是⊙O的切线.

2)∵∠F=30°ODF=90°∴∠DOF=AOC=COD=60°

OD=OB∴△OBD是等边三角形,∴∠4=60°∵∠4=F+1∴∠1=2=30°

ECOB∴∠E=180°﹣4=120°∴∠3=180°﹣E2=30°EC=ED=BO=DB

EB=6OB=ODOA=3RtAOC中,∵∠OAC=90°OA=3AOC=60°

AC=OAtan60°=3 S=2SAOCS扇形OAD=2××3×3=9

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