Question

已知D、E、F分别为△ABC的AB、AC、BC边上的中点，求证：S_△DEF=

1

4

S_△ABC．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：首先证明四边形ABCD是平行四边形，可得DE=FB，再根据三角形的面积公式可得S_△DFE=S_△DBF，同理可得S_△EFC=S_△ADE=S_△DEF，进而得到S_△DEF=

1

4

S_△ABC．

解答：证明：过D作DH⊥BC，
∵D、E分别为△ABC的AB、AC边上的中点，
∴DE∥BF，DE=

1

2

BC，
∵F是BC中点，
∴FB=

1

2

BC，
∴DE=BF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=FB，
∵S_△BDF=

1

2

FB•DH，S_△DEF=

1

2

ED•DH，
∴S_△DFE=S_△DBF，
同理：S_△EFC=S_△ADE=S_△DEF，
∴S_△DEF=

1

4

S_△ABC．

点评：此题主要考查了三角形的中位线，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．