Question

如图先将宽为1的长方形纸条，折出纸片的对角线，再将其较短的一边按如图所示的方式折叠，使得较短边与对角线重合，此时点B、D恰好重合于同一点O．
（1）证明四边形AECF为菱形，并说明理由；
（2）求出此时四边形AECF的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD=BC，CD∥AB．
由折叠可知AO=AD，CO=BC，
∴AO=CO．
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC．
由折叠易知∠COF=∠AOE=90°，
∴△CFO≌△AEO．
∴FO=EO．
又∵AO=CO，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵EF⊥AC，
所以四边形AECF为菱形．

（2）∵四边形AECF为菱形，
∴∠EAO=∠FAO=∠DAF=30°．
在Rt△ADF中，AD=1，
∴DF=，AF=．
∴S_菱形AECF=AE•AD=×1=．
分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质，证明该四边形的对角线互相垂直平分即可；
（2）根据菱形的性质，即可求得∠EAO=∠FAO=∠DAF=30°，利用解直角三角形的知识求得AE的长，从而求得菱形的面积．
点评：此题综合运用了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形的知识．