Question

【题目】将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.

（1）求证：△ADC∽△APD；

（2）求△APD的面积；

（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ;(3) 不会随着α的变化而变化

【解析】

（1）先判断出△BCD是等边三角形，进而求出∠ADP=∠ACD，即可得出结论；
（2）求出PH，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．

（1）证明：∵△ABC是直角三角形，点D是AB的中点，

∴AD=BD=CD，

∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，

∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，

在△ADC与△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，

∴△ADC∽△APD.

（2）由（1）已得△BCD是等边三角形，∴BD=BC=AD=2，

过点P作PH⊥AD于点H，

∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，

∴AH=DH=1， tanA=，

∴PH=.

∴△APD的面积=AD·PH=

（3）的值不会随着α的变化而变化.

∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，

在△MPD与△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，

∴△MPD∽△NCD，∴，

由（1）知AD=CD，∴，

由（2）可知PD=2AH，∴PD=，

∴．

∴的值不会随着α的变化而变化.