Question

【题目】如图，抛物线y=（x﹣3）2与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点D．

（1）求点A、B、D三点的坐标；

（2）连结CD交x轴于G，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，交抛物线对称轴于E，求出E点的纵坐标；

（3）以②中点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（3﹣，0），B（3+，0），D（3，﹣）；（2）E点的纵坐标为2；（3）P（3+，1）．

【解析】

（1）通过解方程（x﹣3）2=0得A、B两点坐标；利用二次函数性质确定顶点D的坐标；

（2）先确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=﹣x+3，则可得到G（2，0），抛物线的对称轴与x轴交于M点，如图，则M（3，0），然后证明Rt△OEM∽Rt△DGM，利用相似比求出EM，从而得到E点坐标；

（3）连接PE、EQ，如图，设P（x，（x﹣3）2），利用切线的性质得PQ⊥EQ，则根据勾股定理得到PQ2=（x﹣3）2+[（x﹣3）2﹣2]2﹣12，然后进行配方得到PQ2=[（x﹣3）2﹣5]2+5，从而利用二次函数的性质确定PQ的长最小时点P的坐标．

（1）当y=0时，（x﹣3）2=0，解得：x1=3﹣，x2=3+，则A（3﹣，0），B（3+，0）；

抛物线的顶点D的坐标为（3，﹣）；

（2）当y=0时，y=（x﹣3）2=（0﹣3）2=3，则C（0，3），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，3），D（3，﹣）代入得：，解得：，∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，当y=0时，﹣x+3=0，解得：x=2，则G（2，0），抛物线的对称轴与x轴交于M点，如图，则M（3，0）．

∵OE⊥CD，∴∠DHE=90°，∴∠HDE=∠EOM，∴Rt△OEM∽Rt△DGM，∴=，即=，解得：EM=2，∴E（3，2）；

（3）连接PE、EQ，如图，设P（x，（x﹣3）2）．

∵PQ为⊙E的切线，∴PQ⊥EQ，∴PQ2=PE2﹣EQ2

=（x﹣3）2+[（x﹣3）2﹣2]2﹣12

=（x﹣3）4﹣（x﹣3）2+

=[（x﹣3）2﹣5]2+5，当（x﹣3）2﹣5=0，PQ有最小值，此时x=3±．

∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴P点坐标为（3+，1）．