Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．

（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为(-，0)，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为　 　°；

（2）若点C的坐标为（0，），点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；

（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标xN的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）y=x+，或y=﹣x+．（3）﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3．

【解析】

（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；

（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；

（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，

∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），

∵tan∠BAO==，

∴∠BAO=∠CAO=60°，

∴∠BAC=∠ABC′=120°，

故答案为120．

（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），

∵C（0，），

∴CF=3，

∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，

∴∠CDF=∠CD′F=60°，

∴DF=FD′=3tan30°=3，

∴D（3，4），D′（﹣3，4），

∴直线CD的解析式为y=x+，或y=﹣x+．

（3）如图3中，

∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，

∴直线MN与x轴的夹角为45°，

可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，

当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，

∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，

由，解得或，

∴N（﹣1，3），N′（3，1），

由解得或，

∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），

观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3．