【题目】如图①,直线交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).
(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;
(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)当a=时,S有最大值,最大值为,此时,M(,5);(3)P(2,0)或(,0).
【解析】
试题分析:(1)利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标,然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式;
(2)由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,),然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC,过点M作MD⊥x轴于点D,则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和.
(3)由于没有说明点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A′的右边时,此情况是不存在;当点P在A′的左边时,此时∠DA′P=∠CAB′,若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似,则分为以下两种情况进行讨论:①;②.
试题解析:(1)令y=0代入,∴x=﹣3,A(﹣3,0),令x=0,代入,∴y=4,∴C(0,4),设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),把C(0,4)代入上式得,a=,∴;
(2)如图①,设点M(a,),其中﹣3<a<0.
∵B(1,0),C(0,4),∴OB=1,OC=4,∴S△BOC=OBOC=2,过点M作MD⊥x轴于点D,∴MD=,AD=a+3,OD=﹣a,∴S四边形MAOC=ADMD+(MD+OC)OD=ADMD+ODMD+ODOC=MD(AD+OD)+ ODOC=MDOA+ODOC
==
∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC===
∴当a=时,S有最大值,最大值为,此时,M(,5);
(3)如图②,由题意知:M′(,5),B′(﹣1,0),A′(3,0),∴AB′=2.
设直线A′C的解析式为:y=kx+b,把A′(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,得:,∴,∴,令x=代入,∴y=2,∴D(,2).由勾股定理分别可求得:AC=5,DA′=.设P(m,0),①当m<3时,此时点P在A′的左边,∴∠DA′P=∠CAB′,当时,△DA′P∽△CAB′,此时,=(3﹣m),解得:m=2,∴P(2,0);
当时,△DA′P∽△B′AC,此时,=(3﹣m),解得m=,∴P(,0)
②当m>3时,此时,点P在A′右边,由于∠CB′O≠∠DA′E,∴∠AB′C≠∠DA′P,∴此情况,△DA′P与△B′AC不能相似.
综上所述,当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时,点P的坐标为(2,0)或(,0).
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【题目】甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米,然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ,公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲乙两同学同时从家发去学校,结果甲同学比乙同学早到2分钟.
(1)求乙骑自行车的速度;
(2)当甲到达学校时,乙同学离学校还有多远?
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【题目】下列判断中,不正确的有( )
A.三边对应成比例的两个三角形相似
B.两边对应成比例,且有一个角相等的两个三角形相似
C.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D.有一个角是100°的两个等腰三角形相似
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【题目】如图1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求点B的坐标;
(2)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
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【题目】已知二次函数的图象,如图所示
(1)根据方程的根与函数图象之间的关系,将方程的根在图上近似地表示出来(描点),并观察图象,写出方程的根(精确到0.1).
(2)在同一直角坐标系中画出一次函数的图象,观察图象写出自变量x取值在什么范围时,一次函数的值小于二次函数的值.
(3)如图,点P是坐标平面上的一点,并在网格的格点上,请选择一种适当的平移方法,使平移后二次函数图象的顶点落在P点上,写出平移后二次函数图象的函数表达式,并判断点P是否在函数的图象上,请说明理由.
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【题目】抛物线与x轴交于A,B两点,顶点为C,点P为抛物线上,且位于x轴下方.
(1)如图1,若P(1,﹣3),B(4,0).
①求该抛物线的解析式;
②若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;
(2)如图2,已知直线PA,PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】设点A(m,n)在x轴上,且位于原点的左侧,则下列结论正确的是( )
A. m=0,n为一切数 B. m=0,n<0
C. m为一切数,n=0 D. m<0,n=0
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