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【题目】如图①,直线交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).

(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;

(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;

(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)当a=时,S有最大值,最大值为此时,M(,5);(3)P(2,0)或(,0).

【解析】

试题分析:(1)利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标,然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式;

(2)由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,),然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC,过点M作MD⊥x轴于点D,则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和.

(3)由于没有说明点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A′的右边时,此情况是不存在;当点P在A′的左边时,此时∠DA′P=∠CAB′,若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似,则分为以下两种情况进行讨论:①;②

试题解析:(1)令y=0代入,∴x=﹣3,A(﹣3,0),令x=0,代入,∴y=4,∴C(0,4),设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),把C(0,4)代入上式得,a=,∴

(2)如图①,设点M(a,其中﹣3<a<0

∵B(1,0),C(0,4),∴OB=1,OC=4∴S△BOC=OBOC=2,过点M作MD⊥x轴于点D,∴MD=,AD=a+3,OD=﹣a,∴S四边形MAOC=ADMD+(MD+OC)OD=ADMD+ODMD+ODOC=MD(AD+OD)+ ODOC=MDOA+ODOC

==

∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC===

∴当a=时,S有最大值,最大值为此时,M(,5);

(3)如图②,由题意知:M′(,5),B′(﹣1,0),A′(3,0)∴AB′=2

设直线A′C的解析式为:y=kx+b,把A′(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,得:,∴,令x=代入,∴y=2D(,2).由勾股定理分别可求得:AC=5,DA′=设P(m,0)当m<3时,此时点P在A′的左边,∴∠DA′P=∠CAB′,当时,△DA′P∽△CAB′,此时,=(3﹣m),解得:m=2,∴P(2,0)

时,△DA′P∽△B′AC,此时,=(3﹣m),解得m=,∴P(,0)

当m>3时,此时,点P在A′右边,由于∠CB′O≠∠DA′E,∴∠AB′C≠∠DA′P∴此情况,△DA′P与△B′AC不能相似

综上所述,当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时,点P的坐标为(2,0)或(,0).

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