Question

在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明；

（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若，FG∥CE，，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

          

Answer 1

  (1) 证明：如图1.

     ∵ AF平分ÐBAD，∴ÐBAF=ÐDAF，

     ∵ 四边形ABCD是平行四边形，

     ∴ AD//BC，AB//CD。

     ∴ ÐDAF=ÐCEF，ÐBAF=ÐF，

     ∴ ÐCEF=ÐF，∴ CE=CF。

  (2) ÐBDG=45°.

  (3) [解] 分别连结GB、GE、GC(如图2).

         ∵ AB//DC，ÐABC=120°，

         ∴ ÐECF=ÐABC=120°，

         ∵ FG //CE且FG=CE,

         ∴ 四边形CEGF是平行四边形.

         由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF是菱形,

         ∴ EG=EC，ÐGCF=ÐGCE=ÐECF=60°.

         ∴ △ ECG是等边三角形.

         ∴ EG=CG…j,

         ÐGEC=ÐEGC=60°,

         ∴ÐGEC=ÐGCF,

         ∴ÐBEG=ÐDCG…k,

         由AD//BC及AF平分ÐBAD可得ÐBAE=ÐAEB，

         ∴AB=BE.

         在□ ABCD中，AB=DC.

         ∴BE=DC…l,

         由jkl得△BEG @ △DCG.

         ∴ BG=DG，Ð1=Ð2,

         ∴ ÐBGD=Ð1+Ð3=Ð2+Ð3=ÐEGC=60°.

         ∴ ÐBDG=(180°-ÐBGD)=60°.