Question

求三个不同的正整数a，b，c使

11

a

+

11

b

+

11

c

=

143

210

，且使[a，b，c]最小．

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：首先把原式化简为：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

13

210

，210=2×3×5×7，要使[a，b，c]最小，则a，b，c的最大公约数要最大，且尽量为倍数关系，且剩余的质因数和质因数积的和小于13，由此探讨得出答案即可．

解答：解：∵

11

a

+

11

b

+

11

c

=

143

210

，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=

13

210

，
∵210=2×3×5×7，
∴要使[a，b，c]最小，则a，b，c的最大公约数要最大，且尽量为倍数关系，
当（a，b，c）=6
则13=1+5+7，则a，b，c分别为30，42，210，[a，b，c]=210；
当（a，b，c）=10
则13=3+3+7，不合题意；
当（a，b，c）=14
则13=3+5+5，不合题意；
当（a，b，c）=15
则13=2+4+7，则a，b，c分别为105，30，52.5，不合题意；
当（a，b，c）=21
则13=1+2+10或2+5+6，a，b，c分别为210，105，21或105，42，35，则[a，b，c]=210；
当（a，b，c）=35
则13=3+2+8，a，b，c分别为70，105，26.25不合题意；
综上所述，[a，b，c]最小为210．

点评：此题考查整数的分解质因数和最大公约数、最小公倍数的综合运用，注意抓住式子的特点，选用适当的方法解答即可．