Question

如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．
（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；
（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BC边上的高，再根据菱形的面积等于底边乘以高列式计算即可得解；
（2）将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，易得△AEE′为等边三角形，然后利用“角边角”证明△EE′B和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，从而得到BC=CE+CF，即可得证．

解答：（1）解：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=4，
∴等边△ABC底边BC上的高为4×

3

2

=2

3

，
∴菱形ABCD的面积=4×2

3

=8

3

；

（2）证明：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形，
∴∠AE′E=60°，
∵∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=∠AEC-60°，
又∵∠BE′E=∠AE′B-∠AE′E=∠AE′B-60°，
∴∠BE′E=∠CEF，
∵∠B=60°，菱形的对边AB∥CD，
∴∠ECF=180°-60°=120°，
又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠E′BE=∠ECF，
在△EE′B和△FEC中，

∠BE′E=∠CEF BE′=CE ∠E′BE=∠ECF

，
∴△EE′B≌△FEC（ASA），
∴BE=CF，
∴BC=CE+BE=CE+CF，
∵AB=BC，
∴AB=CE+CF．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，（2）利用旋转的性质作辅助线构造出等边三角形与全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．