Question

已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，
∴b=4、c=4，
∴y=-x²+4x+4．

（2）y=-（x-2）²+8，B（2，8），
①AB∥OC时，直线AB：y=2x+4，则CO为y=2x；

解得，
∴，
②AC∥OB时，直线OB：y=4x，则AC为y=4x+4；

解得，
∴C（0，4），与点A重合，舍去．

（3）①当点P在x轴上方时，
y=-x²+4x+4=3，
解得x₁=2+，x₂=2-，
P₁（2+，3），P₂（2-，3）；
此时P到对称轴直线x=2的距离为＜3，
即⊙P与对称轴相交．
对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度为4．
②当点P在x轴下方时，y=-x²+4x+4=-3，
解得x₁=2+，x₂=2-，
P₃（2+，-3），P₄（2-，-3）
此时P到对称轴直线x=2的距离为＞3，
即⊙P与对称轴不相交．

分析：（1）根据抛物线的对称轴方程可确定b的值，将C点坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，从而得到该抛物线的解析式．
（2）此题应分两种情况考虑：
①AB∥OC，易求得直线AB的解析式，即可确定直线OC的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点C的坐标；
②AC∥OB，参照①的解题思路，先求出直线OB的解析式，进而可确定直线AC的解析式，再联立抛物线的解析式求出点C的坐标．
（3）由于⊙P半径为3，且与x轴相切，那么点P的纵坐标的绝对值为3，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．此时根据点P的坐标、⊙P的半径以及抛物线的对称轴方程，可先确定抛物线对称轴与⊙P的位置关系，若相交，即可由垂径定理和勾股定理求得弦EF的长度．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、梯形的判定、函数图象交点坐标的求法、切线的性质、直线与圆的位置关系等知识，综合性强，难度中上．