Question

已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=30°，∠DAE=60°，AD=3，AB=6

3

，且AB，AD在同一直线上，把图1中的△ADE沿射线AB平移，记平移中的△ADE为△A′DE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．
（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；
（2）在平移过程中，设△A′DE与Rt△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；
（3）过点C作CF∥AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到△MCF，将△MCF绕点C逆时针旋转60°，得到△M′CF′（M的对应点为M′，F的对应点为F′），问△FMM′的面积能否等于

3

？若能，请求AM′的长度，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）和（2）根据直角三角形的性质和三角形面积的求解方法，求出重叠面积S与x的函数关系式；
（3）根据题意，利用三角形的面积求解方法分三种情况讨论，列方程式解方程可求解出AM′的长度．

解答：解：（1）∵顶点E恰好移动到边AC上时，
∴x=3

3

×

3

+3=12

（2）当0≤x≤3时，S=

3

8

x2；
当3＜x≤6

3

时，S=-

3

24

x2+

3

x-

3

2

3

；
当6

3

＜x≤12时，S=-

13 3

24

x2+(18+

3

)x-

111 3

2

；
当12＜x≤6

3

+3时，S=-

3

2

x2+18x-

99 3

2

．

（3）
如图①所示：设CM=CM′=x，A   E  D
则S△FMM′=S△FCM′-S△FCM-S△MCM′
=

1

2

x•4

3

-

1

2

x•2

3

-

3

4

x2=

3

将其化简得：x²-4x+4=0
∴x=2
∴AM′=12-2=10
如图②所示：设CM=CM′=x，
则S△FMM′=S△FCM+S△MCM′-S△FCM′
=

1

2

x•2

3

+

3

4

x2-

1

2

x•4

3

=

3

将其化简得：x²-4x-4=0
∴x=2±2

2

（舍负）
∴x=2+2

2

∴AM′=12-(2+2

2

)=10-2

2

如图③所示：设CM=CM′=x，
S△FMM′=S△MCM′+S△FCM′-S△FCM
=

3

4

x2+

1

2

x•4

3

-

1

2

x•2

3

=

3

将其化简得：x²+4x-4=0
∴x=-2±2

2

（舍负）
∴x=-2+2

2

∴AM′=12+(-2+2

2

)=10+2

2

∴AM′的值为10或10-2

2

或 10+2

2

．

点评：此题主要考查了直角三角形判定与性质三角形面积求法等知识，利用平移性质得出对应边之间的关系是解题关键．