Question

已知关于x的方程：x²-（m-1）x-m=0①和x²-（9-m）x+2（m+1）=3②，其中m＞0．
（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；
（2）设二次函数y1=x2-(m-1)x-m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），将A、B两点按照相同的方式平移后，点A落在点A′（1，3）处，点B落在点B′处，若点B′的横坐标恰好是方程②的一个根，求m的值；
（3）设二次函数y2=x2-(9-m)x+2(m+1)，在（2）的条件下，函数y₁，y₂的图象位于直线x=3左侧的部分与直线y=kx（k＞0）交于两点，当向上平移直线y=kx时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则k的值是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式,一次函数图象与几何变换,坐标与图形变化-平移

专题：

分析：（1）依据根的判别式△＞0即可判定．
（2）根据解析式求得与x轴的交点A（-1，0），B（m，0），平移后，点A落在点A'（1，3）处，则平移方式是将点A向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，所以点B平移后的点B为（m+2，3），代入x²-（9-m）x+2（m+1）②，即可求得m的值．
（3）由（2）可知m=3，所以抛物线的解析式可求出，进而可求出两个抛物线的交点坐标，再由条件向上平移直线y=kx时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，即可求出k的值．

解答：解：（1）方程x²-（m-1）x-m=0中，
△=（m-1）²+4m=m²+2m+1=（m+1）²，
由m＞0知必有m+1＞0，故△＞0．∴方程①总有两个不相等的实数根；
（2）令y₁=0，依题意可解得A（-1，0），B（m，0）．
∵平移后，点A落在点A'（1，3）处，
∴平移方式是将点A向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．
∴点B（m，0）按相同的方式平移后，点B'为（m+2，3）．
则依题意有（m+2）²-（9-m）（m+2）+2（m+1）=3．
解得m₁=3，m2=-

5

2

（负数舍去）．
∴m的值为3．
（3）∵m=3，
∴y₁=x²-2x-3，y₂=x²-6x+8，
∴y₁与y=kx的交点坐标为：

y=kx y=x2-2x-3

，y₂与y=kx的交点坐标为

y=kx y=x2-6x+8

，
又∵向上平移直线y=kx时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，
∴k=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，用到的知识点有根的判别式的运用、平移的性质以及函数图象交点的问题，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考题．