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【题目】(1)如图(1),已知,在ABC中,AD,AE分别是ABC的高和角平分线,若∠B=30°,C=50°.求∠DAE的度数;

(2)如图(2),已知AF平分∠BAC,交边BC于点E,过FFDBC,若∠B=x°,C=(x+36)°,

①∠CAE=   (含x的代数式表示)

②求∠F的度数.

【答案】(1)∠DAE=10°;(2)①72°﹣x°,②∠F=18°.

【解析】试题分析

(1) 要求∠DAE的度数,可以先求得∠CAE和∠CAD的度数再将它们相减. 先根据三角形的内角和求得∠BAC的度数,再根据AE是∠BAC的角平分线这一条件得到∠CAE的度数. 由于AD是△ABC的高,所以通过直角三角形两锐角的关系可以得到∠CAD的度数. 根据上述角的度数即可求得∠DAE的度数.

(2) 根据三角形的内角和容易用x表示∠BAC. 根据AF平分∠BAC这一条件,不难用x表示∠CAE和∠BAE. 结合上述结果利用三角形外角的相关结论,可以得到∠AEC的度数. 根据FDBC利用对顶角和直角三角形两锐角的关系可以得到∠F的度数.

试题解析

(1) ∵∠B=30°,C=50°,

∴在△ABC中,∠BAC=180°-B-C=180°-30°-50°=100°.

AE是△ABC的角平分线,即AE平分∠BAC

.

AD是△ABC的高,即ADBC

∴在RtADC中,∠CAD=90°-C=90°-50°=40°,

∴∠DAE=CAE-CAD=50°-40°=10°.

(2) ①∵∠B=x°,C=(x+36)°,

∴在△ABC中,∠BAC=180°-B-C=180°-x°-(x+36)°=(144-2x)°.

AF平分∠BAC

.

故本小题应填写.

②∵AF平分∠BAC

∴∠BAE=CAE=72°-x°.

∵∠AECABE的一个外角,

∴∠AEC=BAE+B=72°-x°+x°=72°,

∴∠FED=AEC=72°.

FDBC

∴在RtEDF中,∠F=90°-FED=90°-72°=18°.

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