Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动，点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向终点A运动，连结EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，以EF，FG为边作正方形EFGH，设点E运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）用含t的代数式表示点E到边AB的距离．

（2）当点G落在边AB上时，求t的值．

（3）连结BG，设△BFG的面积为S平方单位（S＞0），求S与t之间的函数关系式．

（4）直接写出当正方形EFGH的顶点与点B，D距离相等时的t值．

Answer 1

【答案】（1）点E到边AB的距离为t（2）t=1（3）S= （4）当正方形EFGH的顶点与点B，D距离相等时的t值为s或1s或s

【解析】试题分析：（1）如图1中，作EM⊥AB于M．由EM∥BC，可得，即，延长即可解决问题；

（2）如图2中，G在AB边时，由AF+FB=4，可得2t+2t=4，解方程即可；

（3）分两种情形①如图3中，当0<t<1时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．②如图4中，当1<t≤2时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．分别求解即可；

（4）分三种情形①如图5中，当H在BD的垂直平分线上时，根据HD=HB列出方程即可解决问题；②当点E在BD的垂直平分线上时，易知AE=EC，t=1；③当点F在线段BD的垂直平分线上时，分别求解即可．

试题解析：（1）如图1中，作EM⊥AB于M．

∵AB=4，BC=2，∠B=90°，

∴AC=，

∵EM∥BC，

∴，

∴，

∴EM=t，AM=2t．

∴点E到边AB的距离为t．

（2）如图2中，G在AB边时，

由AF+FB=4，可得2t+2t=4，

∴t=1．

（3）①如图3中，当0＜t＜1时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．

由△EMF≌△FNG，可得NG=FM=4﹣4t，

∴S=FBGN=2t（4﹣4t）=﹣4t2+4t．

②如图4中，当1＜t≤2时，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．

由△EMF≌△FNG，可得NG=FM=4t﹣4

S=FBGN=2t（4t﹣4）=4t2﹣4t．

综上所述，S=．

（4）①如图5中，当H在BD的垂直平分线上时，

作HM⊥BC于M，延长MH交AD于N，作EP⊥AB于P，延长PE交MN于Q．

由△EPF≌△HQE可得HQ=EP=T．EQ=PF=4﹣4t，

在Rt△HND中，DH2=DN2+HN2=（3t﹣2）2+（3t）2，

在Rt△BHM中，BH2=（4﹣3t）2+（4﹣3t）2，

∴HD=HB，

∴（3t﹣2）2+（3t）2=4﹣3t）2+（4﹣3t）2，

∴t=．

②当点E在BD的垂直平分线上时，易知AE=EC，t=1．

③当点F在线段BD的垂直平分线上时，

∵BF=DF=2t

在Rt△ADF中，22+（4﹣2t2=（2t）2，

∴t=，

综上所述，当正方形EFGH的顶点与点B，D距离相等时的t值为s或1s或s.