Question

12．如图，四边形ABCD是正方形，AB=4，E是边CD上的点，F是DA延长线上的点、且CE=AF，将△BCE沿BE折叠，得到△BC′E，延长BC′交AD于G．
（1）求证：△BCE≌△BAF；
（2）①若DG=1，求FG的长；
②若∠CBE=30°，点B和点H关于DF的对称，求证：四边形FHGB是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质和AF=CE即可得出结论；
（2）①先判断出∠FBG=∠GFB，即可得出FG=BG，即可求出结论；
②先判断出点H是点B关于AD的对称点，即可得出结论，判断出四边形FHGB是平行四边形，即可的胡结论．

解答 解：（1）证明：在正方形ABCD中，BA=BC，∠C=∠BAD=∠BAF=90°，
∵AF=CE，
∴△BAF≌△BCE；

（2）①∵∠FBA=∠CBE，∠ABC=90°，
∴∠FBE=90°，
∴∠FBG=90°-∠CBE=∠GFB，
∴FG=BG，
∵AD=AB=4，DG=1，
∴AG=3，BG=5，
∴FG=BG=5；

②∵∠CBE=30°，
∴∠ABF=∠CBE=∠ABG=30°，
∵点B关于DA的对称点为H，
∴BF=HF，GH=GB，
∠ABF=∠AHF=30°=∠ABG=∠GHA，
∴BF∥GH，FH∥BG，
∴四边形FHGB是平行四边形，
∵BH⊥GF，
∴?FHGB是菱形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对对边，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，解（2）的关键是判断出四边形FHGB是平行四边形．