Question

18．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD-DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；
（2）求点R运动的路程长；
（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

Answer 1

分析 （1）当点Q在线段AD上时，如图1，根据四边相等的四边形是菱形证明四边形APRQ是菱形，则QR=AP=t；
（2）如图2，当点Q在线段AD上运动时，点R的运动的路程长为AR，当点Q在线段CD上运动时，点R的运动的路程长为CR，分别求长并相加即可；
（3）分两种情况：
①当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，
②当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，
分别计算即可；
（4）分两种情况：
①当∠BRQ=90°时，如图6，根据BQ=2RQ列式可得：t=$\frac{4}{3}$；
②当∠BQR=90°时，如图7，根据BR=2RQ列式可得：t=$\frac{8}{3}$．

解答 解：（1）由题意得：AP=t，
当点Q在线段AD上时，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵PQ∥BC，
∴∠PQA=∠B=60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PA=AQ=PQ，
∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=PR=RQ，
∴AP=PR=RQ=AQ，
∴四边形APRQ是菱形，
∴QR=AP=t；

（2）当点Q在线段AD上运动时，如图2，点R的运动的路程长为AR，
由（1）得：四边形APRQ是菱形，
∴AR⊥PQ，
∵PQ∥BC，
∴AR⊥BC，
∴RC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得：AR=$\sqrt{A{C}^{2}-C{R}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
当点Q在线段CD上运动时，如图2，点R的运动的路程长为CR，
∴AR+CR=2$\sqrt{3}$+2，
答：点R运动的路程长为（2$\sqrt{3}$+2）cm；

（3）当R在CD上时，如图3，
∵PR∥AD，
∴△CPR∽△CAD，
∴$\frac{CP}{AC}=\frac{PR}{AD}$，
∴$\frac{4-t}{4}=\frac{t}{2}$，
4t=8-2t，
t=$\frac{4}{3}$，
①当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，如图4，
过P作PE⊥AB于E，
∴PE=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=AQ•PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²，
②当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，如图5，
在Rt△PCF中，sin∠PCF=$\frac{PF}{PC}$，
∴PF=PC•sin30°=$\frac{1}{2}$（4-t）=2-$\frac{1}{2}$t，
∴FR=t-（2-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{3}{2}$t-2，
∴tan60°=$\frac{FM}{FR}$，
∴FM=$\sqrt{3}$×（$\frac{3}{2}$t-2），
∴S=S_菱形APRQ-S_△FMR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$\frac{1}{2}$FR•FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$t-2）×$\sqrt{3}$×（$\frac{3}{2}$t-2），
∴S=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}{t}^{2}$+3$\sqrt{3}t$-2$\sqrt{3}$；
综上所述，当点Q在线段AD上时，S与t之间的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+3\sqrt{3}t-2\sqrt{3}（\frac{4}{3}＜t≤2）}\end{array}\right.$；
（4）①当∠BRQ=90°时，如图6，
∵四边形APRQ是菱形，
∴AP=AQ=RQ=t，
∴BQ=4-t，
∵∠AQP=∠PQR=60°，
∴∠RQB=180°-60°60°=60°，
∴∠RBQ=30°，
∴BQ=2RQ，
4-t=2t，
3t=4，
t=$\frac{4}{3}$；
②当∠BQR=90°时，如图7，
同理得四边形CPQR是菱形，
∴PC=RQ=RC=4-t，
∴BR=t，
∵∠CRP=∠PRQ=60°，
∴∠QRB=60°，
∴∠QBR=30°，
∴BR=2RQ，
∴t=2（4-t），
t=$\frac{8}{3}$，
综上所述，以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值是$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$．

点评 本题是四边形和三角形的综合题，考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质和判定、动点运动问题、二次函数等知识，熟练掌握菱形和等边三角形的性质与判定是关键，利用数形结合的思想解决重叠部分图形的面积问题．