Question

已知抛物线y=x²+4ax+3a²（a＞0）
（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．

Answer 1

（1）证明：抛物线y=x²+4ax+3a²开口向上，且a＞0
又△=（4a）²-4×3a²=4a²＞0
∴抛物线必与x轴有两个交点
∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x²+4ax+3a²=0
∴x₁=-a，x₂=-3a²
∴A（-a，0），B（-3a，0）
又圆M与y轴相切，
∴MA=2a
如图在Rt△MAC中，MA²=NA²+NM²即（2a）²=a²+（）²
∴a=±1（负值舍去）
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3

（3）解：P（-2，-1），A（-1，0），C（0，3）
设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b
0=-k+b
∴k=1
b=1
∴y=x+1，令x=0得y=1
∴D（0，1）
∴S_△CPA=S_△PCD-S_△CAD=×2×2-×2×1=1
分析：（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方，根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．
（2）利用垂径定理，勾股定理可以求出
（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．
点评：此题主要考查了根的判别式，以及二次函数与圆的综合性题目，在思考是适应注意，把所有已知条件全部用上，根据所得结论，才能求出．