Question

20．直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND．
（1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR∥NP，请你把下面的解答过程补充完整；
解：∵AB∥CD（已知）
∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）
∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）
∴∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
∴∠EMR=∠MNP
∴MR∥NP（同位角相等，两直线平行）

（2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP又怎样的位置关系？请说明理由．
（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP又怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，先利用平行线的性质得∠EMB=∠END，再根据角平分线的定义得到∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，则∠EMR=∠MNP，然后根据平行线的判定方法可得到MR∥NP；
（2）如图2，先利用平行线的性质得∠AMN=∠DNM，再根据角平分线的定义得到∠NMR=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，则∠NMR=∠MNP，然后根据平行线的判定方法可得到MR∥NP；
（3）如图3，先利用平行线的性质得∠BMN+∠DNM=180°，再利用角平分线定义得∠NMR=$\frac{1}{2}$∠BMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，所以∠NMR+∠MNP=90°，然后根据垂直的定义可判断MR⊥NP．

解答 解：（1）如图1，
∵AB∥CD（已知）
∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）
∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）
∴∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
∴∠EMR=∠MNP
∴MR∥NP（同位角相等，两直线平行）
故答案为两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；
（2）如图2，MR∥NP．理由如下：
∵AB∥CD（已知）
∴∠AMN=∠DNM（两直线平行，内错角相等）
∵MR平分∠AMN，NP平分∠MND（已知）
∴∠NMR=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
∴∠NMR=∠MNP
∴MR∥NP（内错角相等，两直线平行）；
（3）如图3，MR⊥NP．理由如下：
∵AB∥CD（已知）
∴∠BMN+∠DNM=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵MR平分∠BMN，NP平分∠MND（已知）
∴∠NMR=$\frac{1}{2}$∠BMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
∴∠NMR+∠MNP=90°，
∴∠MON=90°，
∴MR⊥NP．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行；性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．