Question

9．如图，直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{m}{x}$的一支交于点A，点B，与x轴交于点C，已知点A的坐标是（1，6），AB=2BC．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据（1，6）可得双曲线的解析式，进而求得B（3，2），再根据待定系数法即可得到直线的解析式；
（2）先根据直线的解析式为y=-2x+8，求得OC=4，再根据S_△OAB=S_△OAC-S_△OCB进行计算即可得到△OAB的面积．

解答 解：（1）把（1，6）代入双曲线y=$\frac{m}{x}$，可得m=1×6=6，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{6}{x}$，
如图，作AE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F，则AE∥BF，AE=6，
∵AB=2BC，AE∥BF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=3，即$\frac{6}{BF}$=3，
∴BF=2，
当y=2时，2=$\frac{6}{x}$，即x=3，
∴B（3，2），
把（1，6），（3，2）代入直线y=kx+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为y=-2x+8．

（2）由0=-2x+8，可得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
∴S_△OAB=S_△OAC-S_△OCB=$\frac{1}{2}$×4×6-$\frac{1}{2}$×4×2=8（平方单位）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．