【题目】在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,D是外角与内角平分线交点,E是外角平分线交点,若∠BOC=120°,则∠D=_____;∠E=_____.
【答案】30°; 60°.
【解析】
根据角平分线的定义、三角形内角和定理进行计算即可.
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴2∠OCB+2∠OBC+∠A=180°,
∴∠OCB+∠OBC=90°﹣∠A,
∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°,
∴90°﹣∠A+∠BOC=180°,
∴∠BOC=90°+∠A,
而∠BOC=120°,
∴∠A=60°,
∵∠DCF=∠D+∠DBC,∠ACF=∠ABC+∠A,BD平分∠ABC,DC平分∠ACF,
∴∠ACF=2∠DCF,∠ABC=2∠DBC,
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A,
∴2∠D=∠A,即∠D=∠A.
∵∠A=60°,
∴∠D=30°,
∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,E是外角平分线交点,
∴∠OBE=∠OCE=90°,
∴∠E=180°﹣(∠OBE+∠D)= 180°﹣120°=60°,
故答案为:30°;60°.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线分别交轴、轴于、两点,且,满足,且,是常数。直线平分,交轴于点。
(1)若的中点为,连接交于,求证:;
(2)如图2,过点作,垂足为,猜想与间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,在轴上有一个动点(在点的右侧),连接,并作等腰,其中,连接并延长交轴于点,当点在运动时,的长是否发生改变?若改变,请求出它的变化范围;若不变,求出它的长度.
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【题目】如图是2018年12月份的日历,我们选择其中的方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交叉求平方和,再相减,例如:(32+112)-(42+102)=14,(212+292)-(222+282)=14,不难发现结果都是14.
(1)今天是12月12日,请你写一个含今天日期在内的类似部分的算式;
(2)请你利用整式的运算对以上规律加以证明.
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【题目】(1)如图,在由边长为1的正方形组成的网络纸中有四边形.
①利用网格作出边的垂直平分线、的垂直平分线;
②设①中、两条直线交于点,连接、、,判断:_____,_____(用“”、“”或“”填空);
③在直线上取点,使得值最小.
(2)在由边长为1的正方形组成的网格纸中,已知线段、,请在网格纸中分别画出两个不同的,使得,高
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,点坐标,且,满足
(1)如图(1)当为等腰直角三角形时;
①点坐标为__________;点坐标为__________.
②在(1)的条件下,分别以和为边作等边和等边,连结,求的度数.
(2)如图(2),过点作轴于点,点为轴正半轴上一点,为延长线上一点,以为直角边作等腰直角三角形,,过点作轴交于点,连结,求证:.
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【题目】若经过一个三角形某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形,那么我们称该三角形为等腰三角形过该顶点的生成三角形.
(1)如图,在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,请问△ABC是否是生成三角形?请你说明理由.
(2)若△ABC是等腰三角形过顶点B的生成三角形,∠C是其最小的内角,请探求∠ABC与∠C之间的关系.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点B(a,b)是第一象限内一点,且a、b满足等式a2-6a+9+|b-1|=0.
(1)求点B的坐标;
(2)如图,动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发,沿x轴的正半轴方向运动,同时动点A以每秒2个单位长度的速度从O点出发,沿y轴的正半轴方向运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,△ABC是AB为斜边的等腰直角三角形;
(3)如图,在(2)的条件下,作∠ABC的平分线BD,设BD的长为m,△ADB的面积为S.请用含m的式子表示S.
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【题目】在下列的网格图中.每个小正方形的边长均为1个单位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;
(2)若点B的坐标为(-3,5),试在图中画出直角坐标系,并标出A、C两点的坐标;
(3)根据(2)中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并标出B2、C2两点的坐标.
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【题目】如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
(1)求证:AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
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