Question

10．已知，在正五边形ABCDE中，对角线AC和BE交于F点，求证：
（1）四边形CDEF是菱形；
（2）△FAB∽△ABE；
（3）EF²=BF•BE．

Answer 1

分析 （1）由正五边形的性质得出∠AED=∠EDC=∠BCD=∠BAE=108°，AB=BC=AE=DE=CD，由等腰三角形的性质得出∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=36°，证出∠EDC+∠BED=180°，得出EF∥CD，同理：CF∥DE，证出四边形CDEF是平行四边形，即可得出结论；
（2）由（1）得：∠BAF=∠AEB，∠ABF=∠ABE，即可得出结论；
（3）由菱形的性质得出EF=CD=AB，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵在正五边形ABCDE中，对角线BD、AC交于F，
∴∠AED=∠EDC=∠BCD=∠BAE=108°，AB=BC=AE=DE=CD，
∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=36°，
∴∠BED=108°-36°=72°，
∴∠EDC+∠BED=180°，
∴EF∥CD，
同理：CF∥DE，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DE=CD，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）由（1）得：∠BAF=∠AEB，∠ABF=∠ABE，
∴△FAB∽△ABE；
（3）由（1）得：四边形CDEF是菱形，
∴EF=CD=AB，
由（2）得：△FAB∽△ABE，
∴AB：BBE=BF：AB，
∴AB²=BF•BE，
∴EF²=BF•BE．

点评 本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正五边形的性质，证明四边形是菱形和三角形相似是解决（3）的关键．