Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点D．
（1）如图1，若⊙O与AB相切于点E，求⊙O的半径；
（2）如图2，若⊙O在AB边上截得的弦FG=，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）连接OE，因为⊙O与AB相切于点E，所以OE⊥AB，
设OE=x，则CO=x，AO=4-x，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴∠AEO=90°，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
∴，
解得：x=，
∴⊙O的半径为．
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则H为FG的中点，FH=FG=，

连接OF，设OF=x，则OA=4-x，
由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=，
在Rt△OHF中，据勾股定理得：OF²=FH²+OH²，
∴x²=（）²+（）²，
解得x₁=，x₂=（舍去），
∴⊙O的半径为．
分析：（1）由于AB和圆相切，所以连接OE，利用相似即可求出OE．
（2）已知弦长，求半径，要做弦的弦心距，构造直角三角形，利用勾股定理求出未知量．
点评：本题综合考查了切线的性质，相似三角形，解直角三角形等知识点的运用．是一道运用切线性质解题的典型题目，难度中等．