Question

【题目】如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的内接正四边形的边长为2．

【解析】

（1）连接CD，由AC为直径，可得∠ADC＝90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠E＝∠ACD，进而可以证明∠ACB＝90°，得证BC是⊙O的切线；

（2）连接OD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半由∠E＝45°，可得∠AOD＝90°，根据勾股定理得AD的长，AD的长即为⊙O的内接正四边形的边长．

解：（1）证明：连接CD，

∵AC为直径，

∴∠ADC＝90°，

∵∠E＝∠ACD，

∠E＝∠B．

∴∠ACD＝∠B，

∴∠ACD＋∠CAD＝∠B＋∠CAD＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）如图，

连接OD、CE，

若∠E＝45°，

则∠AOD＝90°，

∵AC＝4，

∴OA＝OD＝2，

∴AD＝2．

∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．