Question

16．一直四棱柱的底面是菱形，它的一条边长为2，一个角为60°，且侧棱长为6，那么它的表面积为48+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出底面菱形的对角线长，得出底面面积；再求出侧面的面积，即可得出直四棱柱的表面积．

解答 解：直四棱柱的底面是菱形ABCD，连接AC、BD；如图所示：
则AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，∠ABD=60°，
∴OA=AB•sin60°=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，
∴直四棱柱的2个底面面积为：2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵直四棱柱的侧面积=2×6×4=48，
∴直四棱柱的表面积为：48+4$\sqrt{3}$；
故答案为：48+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、面积的计算方法以及几何体的表面积的计算方法；熟练掌握菱形面积的计算方法是解决问题的关键．