Question

1．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值．
（2）动点E从点B出发，沿路线B→A→D→C以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C运动停止，设运动时间为t，△AOE的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量取值范围．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值．
（2）对于S与t的函数关系式，要分三种情况进行讨论，当动点E从点B出发，在B→A上时，当动点E从点B出发，在A→D上时，当动点E从点B出发，在D→C上时．
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

解答 解：（1）解x²-7x+12=0，得x₁=4，x₂=3．
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴sin∠ABC=$\frac{OA}{AB}=\frac{4}{5}$．

（2）△AOB的斜边AB上的高为$3×4÷5=\frac{12}{5}$，
当动点E从点B出发，在B→A上时，$S=\frac{1}{2}（5-t）×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}×（5-t）=6-\frac{6}{5}t$（0＜t≤5）；
当动点E从点B出发，在A→D上时，$S=\frac{1}{2}（t-5）×4=2t-10$（5＜t≤11）；
当动点E从点B出发，在D→C上时，S=25.2-2t（11＜t≤16）；

（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=$-\frac{4}{3}$x+4，直线L过（$\frac{3}{2}$，2），且k值$\frac{3}{4}$（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
L解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，

根据等积法求出CN=$\frac{24}{5}$，勾股定理得出，AN=$\frac{7}{5}$，做A关于N的对称点即为F，AF=$\frac{14}{5}$，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=$\frac{14}{5}×\frac{3}{5}=\frac{42}{25}$，
∴F（-$\frac{42}{25}，\frac{44}{25}$），
综上所述，满足条件的点有四个：F₁（3，8）；F₂（-3，0）；F₃（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$）；F₄（-$\frac{42}{25}$，$\frac{44}{25}$）．

点评 本题考查了一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比以及菱形的性质，解决本题的关键是给定两个点作为菱形的顶点，那么这两个点可能是菱形的对角所在的顶点，也可能是邻角所在的顶点．