Question

【题目】已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为_____．

Answer 1

【答案】﹣1或﹣2

【解析】

分∠ACP为直角、∠PAC为直角两种情况，利用直线与抛物线的交点求解即可．

解：对于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3，

故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．

①当∠ACP为直角时，如下图，

由点A、C的坐标知，OA＝OC＝3，即直线AC的与x轴负半轴的夹角为45°，

而∠ACP为直角，故直线PC的倾斜角为45°，

故设直线PC的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣3，

故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，

联立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），

故点P的坐标为：（﹣1，0）；

②当∠PAC为直角时，

同理可得：点P（﹣2，5）；

故答案为：﹣1或﹣2．