Question

【题目】如图，和是等腰直角三角形，．点为边上一点，连接、交于点,点恰好是中点，连接．

（1）求证：；

（2）写出与的关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）AN⊥EM，AN＝EN，理由见解析

【解析】

（1）由∠CED＝∠BCE＝90°，可证得BC∥DE，然后由点N恰好是BD中点，利用ASA可证得△BMN≌△DEN，继而证得结论；

（2）由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，易证得△ABM≌△ACE，则可证得△AME是等腰直角三角形，继而证得AN⊥EM，AN＝EN．

（1）证明：∵∠CED＝∠BCE＝90°，

∴BC∥DE，

∴∠MBN＝∠EDN，

∵点N恰好是BD中点，

∴BN＝DN，

在△BMN和△DEN中，

，

∴△BMN≌△DEN（ASA），

∴MN＝EN；

（2）位置关系：AN⊥，数量关系：AN＝．

理由如下：

∵△BMN≌△DEN，

∴BM＝DE，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠ABM＝∠ACB＝45°，DE＝CE，

∴BM＝CE，

∵∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠ABM＝∠ACE，

在△ABM和△ACE中，

，

∴△ABM≌△ACE（SAS），

∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，

∴∠BAM＋∠CAM＝∠CAE＋∠CAM，

即∠MAE＝∠BAC＝90°，

∵MN＝EN，

∴AN⊥EN，AN＝EN.