Question

1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=$2\sqrt{5}$，O为腰AC上的一个动点，以O为圆心OA为半径作⊙O交AB于点P，PD⊥BC于点D．
（1）求证：PD为⊙O的切线；
（2）如图2，当O点运动到⊙O恰好与BC相切时，设切点为E点，连接CP，求tan∠BCP的值．

Answer 1

分析 （1）连接OP，先证OP∥BC，得出PD⊥OP，即可得出结论；
（2）连接OE、OP，过C作CF⊥AB于F，先求出∠B的正切值，得出边长关系，再证明四边形OPDE为正方形，设出半径，根据题意列出方程，解方程求出半径，得出CD、FD，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OP，如图1所示：
∵OP=OA，AC=BC，
∴∠OPA=∠A，∠A=∠B，
∴∠OPA=∠B，
∴OP∥BC，
∵PD⊥BC，
∴PD⊥OP，
∴PD为⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OP；如图2所示：
 过C作CF⊥AB于F，则F为AB的中点，
∴AF=BF=$\sqrt{5}$，
∵AC=BC=5，
∴CF=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5）^{2}}}$=2$\sqrt{5}$，
∴tanA=tanB=$\frac{CF}{BF}$=2，
∵⊙O与BC相切，
∴∠OED=90°，
∴四边形OPDE是矩形，
∵OP=OE，
∴四边形OPDE为正方形
∴OP=OE=PD=ED，设OP=OE=PD=ED=r，
则BD=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{r}{2}$，CE=5-$\frac{3r}{2}$，OC=5-r，
在Rt△OCE中，（5-$\frac{3r}{2}$）²+r²=（5-r）²，
解得：r=$\frac{20}{9}$，
∴CD=5-$\frac{1}{2}$r=$\frac{35}{9}$，PD=$\frac{20}{9}$，
∴tan∠BCP=$\frac{PD}{CD}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、正方形的判定方法、锐角三角函数、勾股定理的运用；熟练掌握切线的判定与性质，通过设未知数列出方程得出答案是解决问题的关键．