Question

12．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，0），与y轴的交点为D（0，4），抛物线的对称轴为直线x=3．
（1）确定函数的解析式；
（2）求出抛物线的顶点C的坐标；
（3）在抛物线上求一点P，使得△PAB的面积为2．

Answer 1

分析 （1）先利用对称性确定B点坐标，再设交点式y=a（x-2）（x-4），然后把D点坐标代入求出a即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到顶点C的坐标；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设P（t，$\frac{1}{2}$t²-3t+4），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2•|$\frac{1}{2}$t²-3t+4|=2，然后去绝对值得到关于t的两个一元二次方程，分别解方程求出t的值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（2，0），抛物线的对称轴为直线x=3，
∴B点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）（x-4），
把D（0，4）代入得a•（-2）•（-4）=4，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）（x-4）=$\frac{1}{2}$x²-3x+4；
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-3x+4=$\frac{1}{2}$（x-3）²-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的顶点C的坐标为（3，-$\frac{1}{2}$）；
（3）设P（t，$\frac{1}{2}$t²-3t+4），
∵△PAB的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$•2•|$\frac{1}{2}$t²-3t+4|=2，
当$\frac{1}{2}$t²-3t+4=2时，解得t₁=3+$\sqrt{5}$，t₂=3-$\sqrt{5}$，此时P点坐标为（3+$\sqrt{5}$，2），（3-$\sqrt{5}$，2），
当$\frac{1}{2}$t²-3t+4=-2时，方程无实数解，
∴满足条件的P点坐标为（3+$\sqrt{5}$，2），（3-$\sqrt{5}$，2）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．