Question

2．如图，点G在边BC上，△ABC和△AGF都是等边三角形，点E在边AC上，FE∥BC，EF和AB交于点D．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）求证：四边形CDFG是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得∠FAG=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=60°，AC=AB，AF=AG，然后再证明△AFB≌△AGC，可得∠FBA=∠ACB=60°，进而可证明FB∥EC，从而可得四边形BCEF是平行四边形；
（2）根据△AFB≌△AGC，可得FB=CG，然后再证明△FDB是等边三角形，根据到等边三角形的性质可得FB=FD，然后可得DF=GC，从而可得四边形CDFG是平行四边形．

解答 证明：（1）∵△ABC和△AGF都是等边三角形，
∴∠FAG=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=60°，AC=AB，AF=AG，
∴∠FAG-∠BAG=∠BAC-∠BAG，
∴∠FAB=∠GAC，
在△AFB和△AGC中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠FAB=∠CAG}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△AGC（SAS），
∴∠FBA=∠ACB=60°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴FB∥EC，
∵FE∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）∵△AFB≌△AGC，
∴FB=CG，
∵DF∥CB，
∴∠ABC=∠FDB=60°，
∵∠ABF=60°，
∴△FDB是等边三角形，
∴FB=FD，
∴FD=CG，
∴四边形CDFG是平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质和判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．