Question

11．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE为⊙O的切线，求证：∠CAE=∠ABC．

Answer 1

分析 作辅助线，根据切线性质得：OA⊥AE，则∠CAE+∠DAC=90°，由直径所对的圆周角为直角，则∠ABD=90°，即∠ABC+∠DBC=90°，由同角的余角得出结论．

解答 证明：作直径AD，交⊙O于D，连接CD、BD，
∵AE为⊙O的切线，
∴OA⊥AE，
∴∠CAE+∠DAC=90°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBC=90°，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠CAE=∠ABC．

点评 本题考查了切线的性质和圆周角定理，圆的切线垂直于过切点的半径，还要知道直径所对的圆周角为直角，且在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；在圆中的证明题，常根据这些性质得角的大小关系，因此要熟练掌握．