Question

19．我校九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：

时间x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x+40	90
每天销量（件）	200-2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在第50天至90天的销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x²+180x+2000，
当50≤x≤90时，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180x+2000}&{1≤x＜50}\\{-120x+12000}&{50≤x≤90}\end{array}\right.$；
（2）当1≤x＜50时，
二次函数y=-2x²+180x+2000的图象开口向下，对称轴为x=45，
当x=45时，y_最大=-2×45²+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，
y=-120x+12000中y随x的增大而减小，
∴当x=50时，y_最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）该商品第50天至90天的在销售过程中，共11天每天销售利润不低于4800元，
理由：当50≤x≤90时，
-120x+12000≥4800，
解得x≤60，
∴利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
即该商品第50天至90天的在销售过程中，共11天每天销售利润不低于4800元．

点评 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．