Question

3．已知直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB．
（1）如图1，求证：AC=AD；
（2）如图2，E，F为⊙O上两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，CD=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠BAD=∠ADC，由弦切角定理得出∠BAD=∠ACD，因此∠ADC=∠ACD，即可得出结论
（2）连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵弦CD∥AB，
∴∠BAD=∠ADC，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD；
（2）解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，如图所示：
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵弦CD∥AB，
∴AH⊥CD，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，
∴OA=OC=$\frac{5}{2}$，
∴OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AH=OA+OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵∠CDE=∠ADF，
∴$\widehat{CE}=\widehat{AF}$，
∴$\widehat{EF}=\widehat{AC}$，
∴EF=AC=2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．