Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=6，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.

（1）求证：AE=DF.（2分）
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明现由.（5分）
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.（5分）

Answer 1

（1）因为DF=t又∵AE=t得AE="DF"  
（2）当t=4时，四边形AEFD为菱形
（3）当t=3或时，△DEF为直角三角形

试题分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF="t."
又∵AE=t，∴AE="DF"
（2）能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.
∵∠B=90°，∠C=30°，∴AC=2AB，AB²+BC²=AC²=4AB²，
∵BC=6，∴AB=6，AC=12，∴AD=AC－DC=12－2 t
若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
∴t=12－2t，解得t=4，即当t=4时，四边形AEFD为菱形
（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，即12－2t=2t，t=3
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°－∠C=60°，∠AED=30^o，∴AD=AE.
即12－2t=t，∴t=
③∠EFD=90°时，此种情况不存在.
综上所述，当t=3或时，△DEF为直角三角形。
点评：本题考查菱形，直角三角形，解答本题需要考生掌握菱形的判定方法，会证明一个四边形是菱形，以及直角三角形的判定方法