Question

5．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BC，EH⊥AE，MN⊥BD，求证：EN=$\frac{1}{2}$BD．

Answer 1

分析 如图，连接AC交BD于O．，作EK⊥AB于K．由△AEK≌△MEF，推出AE=EM，由△AOE≌△ENM，推出EN=OA，由此即可解决问题．

解答 证明：如图，连接AC交BD于O．，作EK⊥AB于K．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD=45°，OA=OC=OB=OD，
∵EK⊥AB，EF⊥BC，
∴EK=EF，
∵∠EKB=∠KBF=∠BFE=90°，
∴四边形EKBF是矩形，
∴∠KEF=∠AEM=90°，
∴∠AEK=∠MEF，∵∠EKA=∠EFM=90°，
∴△AEK≌△MEF，
∴AE=EM，
∵○EAO+∠AEO=90°，∠AEO+∠MEN=90°，
∴○EAO=∠MEN，∵∠AOE=∠MNE=90°，
∴△AOE≌△ENM，
∴EN=OA，
∵OA=$\frac{1}{2}$BD，
∴EN=$\frac{1}{2}$BD．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．