Question

13．已知方程3x²-x-1=0的两根为x₁，x₂．不解方程，求下列代数式的值．
（1）（x₁-1）（x₂-1）；
（2）x₁-x₂．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，x₁x₂=-$\frac{1}{3}$，
（1）利用乘法公式展开得到原式=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式变形得到原式原式=±$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，x₁x₂=-$\frac{1}{3}$，
（1）原式=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$+1=$\frac{1}{3}$；
（2）原式=±$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=±$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=±$\sqrt{（\frac{1}{3}）^{2}-4×（-\frac{1}{3}）}$=±$\frac{\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．