Question

如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；
（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由△ABC为等边三角形可知∠ABC=60°，再由等速运动可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数；
（2）和（1）同理可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠APN的度数和∠ABC的度数相等；
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论．

解答：解：（1）∠APN=60°．
∵∠APN=∠ABP+∠BAP，
且点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动，
∴

BM

=

CN

，
∴∠ABP=∠NBC，
∴∠APN=∠ABP+∠NBC，
即∠APN=∠ABC=60°；
（2）同理：图2中，∠APN=∠ABC=90°；图3中，∠APN=∠ABC=108°；
（3）由（1）（2）可知∠APN的度数等于多边形的内角的度数，
当正多边形为n边形时，其内角和为（n-2）180°，
所以每个内角的度数为

(n-2)180°

n

，
所以∠APN=

(n-2)180°

n

．

点评：本题主要考查圆周角定理及正多边形的性质，在（1）中利用弧相等得到角相等，从而得到∠APN和∠ABC的关系是解题的关键，在（3）中总结得出∠APN的度数等于多边形的内角的度数是解题的关键．