Question

已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G．
（1）试说明△ADE≌△CBF；
（2）当四边形AGBD是矩形时，请你确定四边形BEDF的形状并说明；
（3）当四边形AGBD是矩形时，四边形AGCD是等腰梯形吗？直接说出结论．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质推出BC=AD，∠C=∠BAD，CD=AB，求出AE=CF，根据三角形的判定求出即可；
（2）根据平行四边形的判定推出平行四边形BEDF，再根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE即可；
（3）根据在Rt△DBC中，CD不可能等于BD，推出即可．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，BC=AD，∠C=∠BAD，CD=AB，
∵E、F是AB、CD的中点，
∴AE=CF，
在△BCF和△DAE中，

BC=AD ∠C=∠BAD AE=CF

，
∴△ADE≌△CBF．

（2）四边形BEDF的形状是菱形，
理由是：∵BE=DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
当四边形AGBD为矩形时，∠ADB=90°，
∴DE=

1

2

AB=BE，
∴BEDF为菱形．

（3）答：四边形AGCD不可能是等腰梯形．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，等腰梯形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，但难度不大，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．