【题目】((2016北京市)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(,),点Q的坐标为(,),且,,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q 的“相关矩形”的示意图.
(1)已知点A的坐标为(1,0).
①若点B的坐标为(3,1)求点A,B的“相关矩形”的面积;
②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3).若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.
【答案】(1)①2;② 或 ;(2)1≤m≤5 或者.
【解析】
试题分析:(1)①由相关矩形的定义可知:要求A与B的相关矩形面积,则AB必为对角线,利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度,进而可求出该矩形的面积;
②由定义可知,AC必为正方形的对角线,所以AC与x轴的夹角必为45,设直线AC的解析式为;y=kx+b,由此可知k=±1,再(1,0)代入y=kx+b,即可求出b的值;
(2)由定义可知,MN必为相关矩形的对角线,若该相关矩形的为正方形,即直线MN与x轴的夹角为45°,由因为点N在圆O上,所以该直线MN与圆O一定要有交点,由此可以求出m的范围.
试题解析:(1)①∵A(1,0),B(3,1),由定义可知:点A,B的“相关矩形”的底与高分别为2和1,∴点A,B的“相关矩形”的面积为2×1=2;
②由定义可知:AC是点A,C的“相关矩形”的对角线,又∵点A,C的“相关矩形”为正方形,∴直线AC与x轴的夹角为45°,设直线AC的解析为:y=x+m或y=﹣x+n,把(1,0)分别y=x+m,∴m=﹣1,∴直线AC的解析为:y=x﹣1,把(1,0)代入y=﹣x+n,∴n=1,∴y=﹣x+1,综上所述,若点A,C的“相关矩形”为正方形,直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1;
(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,∵点M,N的“相关矩形”为正方形,∴由定义可知:直线MN与x轴的夹角为45°,∴k=±1,∵点N在⊙O上,∴当直线MN与⊙O有交点时,点M,N的“相关矩形”为正方形,当k=1时,作⊙O的切线AD和BC,且与直线MN平行,其中A、C为⊙O的切点,直线AD与y轴交于点D,直线BC与y轴交于点B,连接OA,OC,把M(m,3)代入y=x+b,∴b=3﹣m,∴直线MN的解析式为:y=x+3﹣m.∵∠ADO=45°,∠OAD=90°,∴OD=OA=2,∴D(0,2);
同理可得:B(0,﹣2),∴令x=0代入y=x+3﹣m,∴y=3﹣m,∴﹣2≤3﹣m≤2,∴1≤m≤5,当k=﹣1时,把M(m,3)代入y=﹣x+b,∴b=3+m,∴直线MN的解析式为:y=x+3+m,同理可得:﹣2≤3+m≤2,∴﹣5≤m≤﹣1;
综上所述,当点M,N的“相关矩形”为正方形时,m的取值范围是:1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.
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【题目】课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法.
我们有多少种剪法,图1是其中的一种方法:
定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值.
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【题目】如图1,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.
(1)求证:△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,∠QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,直接写出它的度数.
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【题目】((2016四川省凉山州)阅读下列材料并回答问题:
材料1:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记,那么三角形的面积为. ①
古希腊几何学家海伦(Heron,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他在《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称海伦公式.
我国南宋数学家秦九韶(约1202﹣﹣约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式:. ②
下面我们对公式②进行变形:
.
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式,所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式.
问题:如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O内切于△ABC,切点分别是D、E、F.
(1)求△ABC的面积;
(2)求⊙O的半径.
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【题目】某种商品原价是100元,经两次降价后的价格是90元.设平均每次降价的百分率为x,可列方程为( )
A.100x(1﹣2x)=90
B.100(1+2x)=90
C.100(1﹣x)2=90
D.100(1+x)2=90
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【题目】某商人在一次买卖中均以120元卖出两件商品,其中一件赚了20%,一件赔了20%,在这次交易中,该商人( )
A.不赔不赚
B.赚了10元
C.赔了10元
D.赔了30元
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【题目】(1)如图1,D是等边三角形△ABC边BA上任意一点(D与A、B不重合),连接DC,以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE,连接AE,∠ABC与∠EAC有怎样数量关系直接写出结论
(2)如图2,D是等边三角形△ABC边BA延长线上一点,连接DC,以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE,连接AE,求证:∠ABC=∠EAC.
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