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【题目】(2016北京市)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(),点Q的坐标为(),且,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点PQ相关矩形.下图为点PQ 相关矩形的示意图

1)已知点A的坐标为(10

若点B的坐标为(31)求点AB相关矩形的面积;

C在直线x=3上,若点AC相关矩形为正方形,求直线AC的表达式;

2O的半径为,点M的坐标为(m3).若在O上存在一点N,使得点MN相关矩形为正方形,求m的取值范围

【答案】(1)2; ;(2)1m5 或者

【解析】

试题分析:(1)①由相关矩形的定义可知:要求A与B的相关矩形面积,则AB必为对角线,利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度,进而可求出该矩形的面积;

②由定义可知,AC必为正方形的对角线,所以AC与x轴的夹角必为45,设直线AC的解析式为;y=kx+b,由此可知k=±1,再(1,0)代入y=kx+b,即可求出b的值;

(2)由定义可知,MN必为相关矩形的对角线,若该相关矩形的为正方形,即直线MN与x轴的夹角为45°,由因为点N在圆O上,所以该直线MN与圆O一定要有交点,由此可以求出m的范围.

试题解析:(1)①A(1,0),B(3,1)由定义可知:点A,B的“相关矩形”的底与高分别为2和1,点A,B的“相关矩形”的面积为2×1=2;

②由定义可知:AC是点A,C的“相关矩形”的对角线,又点A,C的“相关矩形”为正方形直线AC与x轴的夹角为45°,设直线AC的解析为:y=x+m或y=﹣x+n把(1,0)分别y=x+m,m=﹣1,直线AC的解析为:y=x﹣1,把(1,0)代入y=﹣x+n,n=1,y=﹣x+1,综上所述,若点A,C的“相关矩形”为正方形,直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1;

(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,点M,N的“相关矩形”为正方形,由定义可知:直线MN与x轴的夹角为45°,k=±1,点N在O上,当直线MN与O有交点时,点M,N的“相关矩形”为正方形,当k=1时,作O的切线AD和BC,且与直线MN平行,其中A、C为O的切点,直线AD与y轴交于点D,直线BC与y轴交于点B,连接OA,OC,把M(m,3)代入y=x+b,b=3﹣m,直线MN的解析式为:y=x+3﹣m∵∠ADO=45°,OAD=90°,OD=OA=2,D(0,2)

同理可得:B(0,﹣2),令x=0代入y=x+3﹣m,y=3﹣m,﹣2≤3﹣m≤2,1≤m≤5,当k=﹣1时,把M(m,3)代入y=﹣x+b,b=3+m,直线MN的解析式为:y=x+3+m,同理可得:﹣2≤3+m≤2,﹣5≤m≤﹣1;

综上所述,当点M,N的“相关矩形”为正方形时,m的取值范围是:1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.

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