Question

将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
（3）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？说明理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：证明题

分析：（1）根据折叠得性质得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，则AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判断△ABE≌△AD′F；
（2）由于AF=EC，AF∥EC，则可判断四边形AECF是平行四边形，加上EA=EC，根据菱形的判定方法即可得到四边形AECF是菱形；
（3）四边形AECF是菱形，所以当EF=AC时，四边形AECF是正方形．

解答：证明：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴AB=AD′，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE，
∴DF=BE，
∴BE=FD′，
在△ABE和△AD′F中

AB=AD′ AE=AF BE=D′F

，
∴△ABE≌△AD′F（SSS）；
（2）解：四边形AECF是菱形．理由如下：
∵AF=EC，AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EA=EC，
∴四边形AECF是菱形；
（3）EF与AC相等时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵四边形AECF是菱形，
∴当EF=AC时，四边形AECF是正方形．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了特殊四边形的判定与性质．