Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠C=90°，CD=8cm，动点P、Q同时从B出发，速度都是1cm/s，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止．当点P运动到A点时，点Q恰好运动到C点．设P点运动的时间为t（s）时，△BPQ的面积为y（cm²）．已知点P在AD边上运动时y与t的函数图象是图2中的线段MN．

（1）BC=______cm，BA=______cm，AD=______cm，点M的坐标为______．
（2）P在CD边上运动时，是否存在时刻t，△PAB的周长最小？若不存在，请说明理由．
（3）△PCD能否成为等腰三角形？若能，直接写出t值；若不能，请说明理由．
（4）分别求出P在BA边上和DC边上运动时y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图2中补全整个运动中y与t的函数图象．

Answer 1

解：（1）如图1．设动点P出发t秒后，点P到达点A且点Q正好到达点C时，BC=BA=t，
则S_△BPQ=BC•CD=×t×8=40，
所以t=10（秒），
则BC=BA=10cm，点M的坐标为（10，40）．
过点A作AH⊥BC于H，则四边形AHCD是矩形，
∴AD=CH，CD=AH=8cm，
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=10cm，AH=8cm，
∴BH==6cm，
∴CH=BC-BH=4cm，
∴AD=4cm；

（2）如备用图1，延长AD到A′，使A′D=AD，连接A′B，交CD于P，
则PA+PB=PA′+PB=A′B最小．
∵A′D∥BC，
∴△A′DP∽△BCP，
∴=，即=，
解得DP=，
∴BA+AD+DP=10+4+=，
∴t=÷1=．
故P在CD边上运动时，存在时刻t=秒，能够使△PAB的周长最小；

（3）△PCD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果PC=PD，如备用图2，作CD的垂直平分线交AB于P₁，则P₁为AB的中点，此时t₁=BP₁÷1=5；
②如果CP=CD=8，如备用图3，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点P₂，过P₂作P₂E⊥BC于E，过点A作AH⊥BC于H．
设BP₂=x，则P₂E=BP₂•sin∠B=x•=x，BE=BP₂•cos∠B=x，
∴CE=BC-BE=10-x．
在Rt△P₂EC中，∵∠P₂EC=90°，
∴P₂E²+CE²=CP₂²，（x）²+（10-x）²=64，
整理，得x²-12x+36=0，
解得x₁=x₂=6，
∴BP₂=6，t₂=BP₂÷1=6；
③如果DP=DC，如备用图4，以D为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点P₃，过P₃作P₃F⊥AD于F．
设AP₃=y，则P₃F=AP₃•sin∠FAP₃=AP₃•sin∠B=y•=y，AF=AP₃•cos∠B=y，
∴DF=DA+AF=4+y．
在Rt△P₃FD中，∵∠P₃FD=90°，
∴P₃F²+DF²=DP₃²，（y）²+（4+y）²=64，
整理，得5y²+24y-240=0，
解得y₁=，y₂=（不合题意舍去），
∴BP₃=AB-AP₃=10-=，t₃=BP₃÷1=；
综上所述，△PCD能成为等腰三角形，此时t的值为5秒或6秒或秒；

（4）当点P在BA边上时，
y=×t×tsinB=t²×=t²（0≤t≤10）；
当点P在DC边上时，
y=×10×（22-t）=-5t+110（14≤t≤22）；
如图2所示．
分析：（1）P在AD边上运动时，△BPQ以BQ为底边，以CD长为高，因此可根据△BPQ的面积为40cm²求出BC=10cm，而P、Q速度相同，P到A的时间与Q到C的时间相同，因此BA=BC=10cm，点M的坐标为（10，40）．求AD的长可通过构建直角三角形来求解．过A作AH⊥BC与H，那么在直角三角形ABH中，AH=CD=8cm，BA=10cm，因此可根据勾股定理求出BH=6cm，那么AD=BC-BH=4cm；
（2）△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB=10cm为定值，所以当PA+PB最小时，△PAB的周长最小．延长AD到A′，使A′D=AD，连接A′B，交CD于P，此时PA+PB最小．由△A′DP∽△BCP，根据相似三角形对应边成比例即可求解；
（3）△PCD为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①PC=PD；②CP=CD；③DP=DC；
（4）△BQP中，BQ=t，BP=t，以BQ为底边的高可用BP•sin∠B来表示，然后可根据三角形的面积计算公式得出关于y，t的函数关系式．
点评：本题是四边形综合题，主要考查了梯形的性质，三角形的面积，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，轴对称-最短路线，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．